Matematyka epidemii

Matematyka epidemii

Tekst: Agnieszka Fiedorowicz

Jak naukowcy budują modele przebiegu epidemii? Jak poznać, czy epidemia się rozwija, czy wygasa? Jakie środki zaradcze działają i w jakich przypadkach? – na te wszystkie pytania próbuje odpowiedzieć dr Adam Kucharski, autor niedawno opublikowanego po polsku bestsellera Prawa epidemii.

„Pod koniec męczącego tygodnia lekarz odebrał klucze do pokoju 911 w hotelu Metropole w Hongkongu. Mimo że nie czuł się dobrze, właśnie odbył trzygodzinną podróż autobusem z południowych Chin na wesele swojego bratanka, które miało się odbyć w weekend. Kilka dni wcześniej zachorował na coś przypominającego grypę i jeszcze nie zdołał się z tego otrząsnąć. A miało być jeszcze gorzej. Za dwadzieścia cztery godziny miał znaleźć się na oddziale intensywnej opieki medycznej. A za dziesięć dni już nie żył. Był 21 lutego 2003 roku, a lekarz był pierwszym przypadkiem zachorowania na SARS w Hongkongu. Z hotelem Metropole powiązanych było ostatecznie szesnaście innych zachorowań: osoby, które mieszkały w pokojach naprzeciwko lekarza, obok niego lub wzdłuż korytarza. (…) Powstała pilna potrzeba zrozumienia nowego wirusa, który ją wywoływał. Naukowcy nie znali nawet podstawowych informacji, takich jak okres mijający od zarażenia do wystąpienia objawów” – pisze dr Adam Kucharski autor niedawno opublikowanego po polsku bestsellera Prawa epidemii. Ten wybitny matematyk i epidemiolog z London School of Hygiene & Tropical Medicine, który badał rozwój epidemii takich wirusów jak Zika czy Ebola, pokazuje, jakimi prawami rządzą się epidemie – nie tylko chorób, bo te same zasady rządzą rozprzestrzenianiem się wirusów komputerowych, krachów bankowych, trendów, a nawet fake newsów.

Chirurg Ross walczy z komarami

Historia badań naukowych nad epidemiami zaczyna się od beczki z wodą stojącej przy oknie Ronalda Rossa. Utrapieniem dla tego chirurga stacjonującego w garnizonie w indyjskim Bangalore były komary. Zaczął szukać metody pozbycia się ich. Przewracając beczkę z wodą zniszczył komarom wylęgarnię, a liczba owadów drastycznie spadła. Lekarz chciał zlikwidować inne otwarte zbiorniki na wodę, ale oficer sztabowy odmówił, twierdząc, że „komary zostały stworzone w jakimś celu, naszym obowiązkiem jest je znosić”. Ta odmowa nie zniechęciła młodego lekarza – w ciągu kolejnych lat prowadził badania nad komarami; w 1902 roku otrzymał Nagrodę Nobla w dziedzinie medycyny za odkrycie cyklu rozwojowego zarodźca malarii i sposobu szerzenia się tej choroby.

Przez setki lat za wybuchy epidemii chorób ludzie winili np. „złe powietrze” – tyle po włosku oznacza mala aria. Malaria, dziś kojarzona głównie z Indiami i Afryką, przez wieki była przyczyną zgonów wielu ludzi w Europie i Ameryce Północnej.

Ross skontaktował się z innym badaczem, Patrickiem Mansonem, który badał pasożyty w południowo‑wschodnich Chinach. Odkrył, jak ludzie zarażają się pasożytami zwanymi filariae, które były przenoszone przez komary, żywiące się krwią zainfekowanych. Następnie dostawały się do krwiobiegu kolejnych ukąszonych, zakażając węzły chłonne, prowadząc do gromadzenia się płynów w ciele. Kończyny chorego puchły, dlatego chorobę nazywano słoniowacizną. Ross doszedł do wniosku, że w ten sam sposób komary przenoszą malarię, wysysając krew z pasożytem ją powodującym (ostatecznie okazało się, że miał rację, a ten pasożyt to pierwotniak zwany Plasmodium).

Ross uważał, że transmisję malarii można ograniczyć, redukując populację komarów. Jednak jego sugestie ignorowano, a nawet wyszydzano. Sukces odniósł dopiero, gdy zatrudniła go jako doradcę firma Suez Canal Company. „W egipskim mieście Ismailia odnotowywano co roku około 2000 przypadków malarii. Po podjęciu intensywnych wysiłków na rzecz redukcji populacji komarów liczba ta spadła poniżej setki” ‒ pisze Adam Kucharski. Mimo to wiele osób wciąż było sceptycznych i by ich przekonać, badacz postanowił opracować model transmisji choroby.

48 tys. komarów = jeden chory

„Jako przykład wybrał scenariusz, w którym w wiosce z 1 tys. mieszkańców znajduje się 1 osoba zakażona. Żeby infekcja mogła przenieść się na innego człowieka, osobę tę musiałby ugryźć komar. Ross założył, że tylko 1 na 4 komary będzie w stanie kogoś ugryźć. Czyli gdyby w danym regionie znajdowało się 48 tys. komarów, spodziewał się, że tylko 12 tys. ugryzie człowieka. A ponieważ początkowo zakaźna była tylko 1 osoba na 1000, średnio tylko 12 z tych 12 tys. komarów złapałoby pasożyta” ‒ wylicza autor Praw epidemii. Tę liczbę zredukował znów do 4, bo tylko część komarów przetrwa tak długo, by pasożyt rozwinął się w ich ciele. Wreszcie komary te musiałyby ugryźć innego człowieka, by przekazać infekcję. Jeśli znów dokona tego tylko 1 na 4 to tylko 1 z 48 tys. komarów tak naprawdę przekaże wirusa. „Gdyby komarów lub zakażonych osób było więcej, spodziewalibyśmy się większej liczby zakażeń miesięcznie. Jest jednak jeszcze drugi proces, który temu przeciwdziała: Ross oszacował, że miesięcznie około 20 procent osób chorych wraca do zdrowia. By malaria pozostała endemiczna w populacji, te dwa procesy − infekcja i powrót do zdrowia − musiałyby się równoważyć. Gdyby ludzie zdrowieli szybciej niż dochodzi do nowych infekcji, poziom natężenia choroby ostatecznie spadłby do zera. Było to kluczowe spostrzeżenie. Żeby opanować malarię, nie trzeba pozbywać się komarów co do jednego: jest pewna kluczowa gęstość populacji komarów i kiedy ich liczba spadnie poniżej tego poziomu, choroba zacznie zanikać sama z siebie” ‒ opisuje Kucharski. Do tej pory badacze analizowali rozwój epidemii wstecz, szukając wzorców w istniejących danych na temat np. liczby chorych. Ross jako pierwszy spojrzał w przód i spytał „co by było, gdyby?”. Jak wyjaśnia autor Praw epidemii: „Przy podejściu Rossa nie musimy przewracać beczek z wodą, by oszacować skutki tego działania. (…) Jeśli instytucja służby zdrowia chce się dowiedzieć, jak skuteczna była dana strategia kontroli choroby, nie może wrócić i odtworzyć epidemii bez niej. Podobnie jeśli chcemy się dowiedzieć, jak może wyglądać jakaś przyszła pandemia, nie możemy celowo uwolnić nowego wirusa i przyglądać się, jak się rozprzestrzenia. Modele dają nam możliwość analizowania epidemii, bez manipulowania przy rzeczywistości”.

Jak „wypłaszczyć” krzywą epidemii?

Na bazie odkryć Rossa inni badacze: Anderson McKendrick i William Kermack opracowali do dziś wykorzystywany w nauce model transmisji chorób. W modelu dzielimy populację na trzy grupy, zależnie od statusu zachorowania: Podatny (Susceptible), Zakaźny (Infectious), Wyzdrowiał (Recovered), dlatego model funkcjonuje do dziś po nazwą SIR.

Jedną z pierwszych rzeczy, którą naukowcy robią na początku, jest wyznaczenie tzw. krzywej rozwoju epidemii − czyli wykresu pokazującego liczbę przypadków w czasie. Chociaż jej kształt może być zróżnicowany, z reguły obejmuje on cztery główne etapy: wybuch, wzrost, szczyt i spadek. Model ten znajduje zastosowanie także w obecnej pandemii SARS-CoV-2. Pytanie, na jakie muszą odpowiedzieć sobie za każdym razem nie tylko naukowcy badający epidemię, ale i rządy państw, to jakie środki zaradcze zastosować, by spróbować „wypłaszczyć” falę zachorowań.

Jak stwierdzić, czy epidemia się rozwinie, w jakim tempie będzie rosnąć liczba chorych i kiedy epidemia osłabnie? W dobie walki z COVID-19 to kluczowe pytania. Zgodnie z tym, co pisze Adam Kucharski, kluczowy jest tzw. współczynnik reprodukcji (R), wyznaczony przez matematyka Klausa Dietza. R to liczba nowych infekcji, którą zgodnie z naszymi oczekiwaniami spowoduje przeciętnie typowa zakaźna osoba. Jak tłumaczy Kucharski: „R mówi nam, czy spodziewać się dużej epidemii, czy nie”. Jeśli R wynosi mniej niż 1, to każda zakaźna osoba średnio wywoła mniej niż jedno dodatkowe zakażenie. Dlatego możemy się spodziewać, że liczba przypadków będzie z czasem spadać. Jeśli jednak R wynosi powyżej 1, poziom zakażenia będzie przeciętnie rosnąć, tworząc potencjalnie dużą epidemię (a nawet pandemię, jak w przypadku SARS-CoV-2). Dla pandemii grypy R wynosi z reguły około 1–2, ospa prawdziwa – jedyna infekcja ludzka, którą udało się wyeliminować, miała w całkowicie podatnej populacji R równe 4–6, a np. odra ma nawet 20 (sic!).

Na początku wybuchu pandemii SARS-CoV-2 naukowcy szacowali jego R między 3 do 5, ale wprowadzone przez wiele państw – w tym Polskę – radykalne obostrzenia (m.in. zakaz zgromadzeń, przemieszczania bez wyraźnej potrzeby, zamknięcie placówek edukacyjnych, nakaz noszenia maseczek) sprawiły, że w wielu krajach krzywą pandemii udało się wypłaszczyć, tj. obniżyć drastycznie wzrost liczby zakażonych. Krajami, które jako pierwsze w Europie już wycofały się z dużej części obostrzeń, m.in. otwierając placówki edukacyjne, są Dania i Austria, gdzie wskaźnik R spadł poniżej 0,8. W Polsce, gdy piszę ten tekst, obostrzenia są zdejmowane bardzo powoli, ponieważ wskaźnik R utrzymuje się wciąż na poziomie 1,2, co oznacza, że w każdej chwili może dojść do ponownego wzrostu zachorowań.

Odporność stadna, czyli model szwedzki

Radykalnych obostrzeń nie wprowadziła Szwecja, która nie zamknęła szkół, przedszkoli, restauracji placówek kultury czy centrów handlowych. Rząd zalecił natomiast zachowanie odległości, unikanie skupisk ludzi – zwłaszcza w przypadku osób w grupie ryzyka (m.in. po 70. roku życia). Jedynymi obostrzeniami są zakaz gromadzenia się w grupach ponad 50 osób i zakaz wizyt w domach opieki. Naczelny epidemiolog Szwecji Anders Tegnell strategię tę określił jako próbę zapewnienia „powolnego rozprzestrzeniania się infekcji i nie przytłoczenia usług zdrowotnych”. Docelowo Szwecja chce uzyskać tzw. odporność stadną na nowego wirusa. Czym ona jest? Tego określenia użył po raz pierwszy na początku XX w. statystyk Major Greenwood. Oznacza ono, że populacja jako całość potrafi zablokować roznoszenie się choroby, nawet jeśli niektóre osoby wciąż są na nią podatne”. Koncepcja odporności stadnej zyskała popularność za sprawą upowszechnienia szczepień; gdyż dziś uzyskujemy ją nie przez przechorowanie przez większość społeczeństwa danej choroby, ale przez zaszczepienie na nią.

Uzyskanie odporności stadnej ma szczególne znaczenie dla osób, których z pewnych względów nie możemy zaszczepić (jak noworodki lub osoby z zaburzeniami układu odpornościowego). „Odporność stadna pozwala osobom zaszczepionym chronić osoby narażone na chorobę, a nieszczepione, tak samo jak siebie samych” ‒ tłumaczy dr Kucharski. Dlatego wielu naukowców już dziś mówi, że o zakończeniu nowej pandemii będziemy mogli mówić dopiero po wyszczepieniu na nią populacji.

Czy w przypadku epidemii po okresie spadku może nastąpić ponowny wzrost? Owszem. Kucharski podaje przykład pandemii świńskiej grypy, która w kwietniu 2009 roku dotarła do Wielkiej Brytanii. Liczba zachorowań rosła szybko wczesnym latem, osiągając szczyt w lipcu, po czym znów wzrosła, osiągając kolejny szczyt pod koniec października. Co się stało po drodze? Wakacje. Latem placówki edukacyjne miały przerwę, dzieci stykały się ze sobą średnio cztery razy rzadziej, a to znacząco wyhamowało wzrost zachorowań. Zamykanie szkół, jakkolwiek wielu z nas wydaje się bezzasadne, jest jak widać jednym z ważnych narzędzi kontrolowania rozwoju epidemii.

Lockdown czy maseczka?

Nie każde z narzędzi jest równie skuteczne w przypadku każdej z epidemii. R zależy od czterech czynników, które Kucharski określa skrótem DOTS: czasu, przez jaki dana osoba jest zakaźna (ang. duration); średniej liczby okazji, jaką ma na przekazanie infekcji każdego dnia, dopóki zaraża (ang. opportunities); prawdopodobieństwa, że taka okazja zakończy się przeniesieniem choroby (ang. transmission), a także średniej podatności populacji (ang. susceptibility). W zależności od choroby niektóre aspekty współczynnika jest łatwiej zmienić niż inne. Kucharski podaje tu przykład wirusa HIV: „Szeroko rozpowszechniona abstynencja seksualna zmniejszyłaby liczbę okazji do przeniesienia się wirusa, ale nie jest to dla większości osób ani zachęcająca, ani praktyczna opcja. Instytucje służby zdrowia skupiły się więc na zachęcaniu ludzi do używania prezerwatyw, które zmniejszają prawdopodobieństwo transmisji podczas seksu”. Podobnie w przypadku najnowszej epidemii ‒ choć izolacja i czasowe zamknięcie większości placówek od szkół po centra handlowe najbardziej wyhamowuje wzrost zachorowań – ma to katastrofalne skutki dla gospodarki, ale też psychiki ludzi, poznających w zamknięciu. Dlatego też należy sięgać po inne środki, takie jak odmrażanie kolejnych sfer gospodarki przy utrzymaniu zabezpieczenia w postaci obowiązku noszenia maseczek.

Hiszpanka, COVID-19 i co dalej….

Pandemia grypy hiszpanki, która wybuchła na początku XX wieku, zabiła 50 milionów osób, dwa razy więcej niż I wojna światowa. W ciągu następnych stu lat doszło do czterech kolejnych pandemii tej choroby. Pierwsza epidemia SARS – w 2003 roku doprowadziła do ok. 8 tys. zachorowań i kilkuset zgonów, a i tak kosztowała świat około 40 miliardów dolarów. Skutki obecnej pandemii SARS-CoV-2 są znacznie wyższe i jeszcze trudne do oszacowania. Co czeka nas dalej? Niestety trudno powiedzieć. Każda epidemia jest inna, a jej specyfika zależy od wielu czynników. „Jeśli widziałeś jedną pandemię, to widziałeś… jedną pandemię” ‒ zauważa dr Kucharski. Pociesza jednak, że każda kolejna epidemia czy też pandemia wiele nas uczy. Dzięki narzędziom statystycznym i modelom matematycznym naukowcy są w stanie coraz sprawniej przewidywać rozprzestrzenianie się epidemii, stosować narzędzia, aby ów rozwój spowolnić. Rozwój biologii molekularnej sprawił, że mamy możliwość szybkiego sekwencjonowania genomów nowych patogenów, dzięki czemu przyspieszeniu ulega proces opracowywania szczepionek. Jednak naukowcy nie są nieomylni i powinno się o tym pamiętać. Jak zauważa Kucharski: „W epidemiologii najważniejsze chwile to nie te, kiedy mamy rację. To te, kiedy zdajemy sobie sprawę z tego, że się myliliśmy. Kiedy coś nie wygląda dokładnie tak, jak powinno; jakiś wyjątek łamie to, co uznaliśmy za zasadę. To właśnie te chwile pozwalają nam spojrzeć wstecz i zorientować się, w jaki sposób tak naprawdę w przeszłości przebiegały epidemie. A potem spojrzeć w przód, by zmienić to, jak będą przebiegać w przyszłości”.

Dla głodnych wiedzy: Kucharski Adam, Prawa epidemii. Skąd się epidemie biorą i czemu wygasają, Grupa Wydawnicza Relacja 2020.